Java中判断整数平方根是否为整数的最快方法

技术背景

在处理一些数学相关的问题时，经常需要判断一个整数的平方根是否为另一个整数，即该整数是否为完全平方数。例如在Project Euler等算法挑战中，此类判断可能需要被调用数百万次，因此算法的性能至关重要。在Java中，最直接的方法是使用Math.sqrt()函数，但该方法可能存在性能瓶颈，因此需要探索更高效的解决方案。

实现步骤

1. 简单直接法

public final static boolean isPerfectSquare(long n) {
    if (n < 0)
        return false;

    long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
    return tst*tst == n;
}

该方法首先判断输入的数是否为负数，若是则直接返回false。然后使用Math.sqrt()函数计算平方根，并将结果四舍五入为长整型，最后判断该整数的平方是否等于原数。

2. 快速过滤法

public final static boolean isPerfectSquare(long n) {
    if (n < 0)
        return false;

    switch((int)(n & 0xF)) {
        case 0: case 1: case 4: case 9:
            long tst = (long)Math.sqrt(n);
            return tst*tst == n;
        default:
            return false;
    }
}

此方法在调用Math.sqrt()之前，先通过位运算获取输入数的最后4位（十六进制的最后一位）。由于完全平方数在十六进制下的最后一位只能是0、1、4或9，因此对于不满足此条件的数可以直接返回false，从而减少不必要的平方根计算。

3. 综合优化法

long goodMask; 
{
    for (int i=0; i<64; ++i) goodMask |= Long.MIN_VALUE >>> (i*i);
}

public boolean isSquare(long x) {
    if (goodMask << x >= 0) return false;
    final int numberOfTrailingZeros = Long.numberOfTrailingZeros(x);
    if ((numberOfTrailingZeros & 1) != 0) return false;
    x >>= numberOfTrailingZeros;
    if ((x&7) != 1 | x <= 0) return x == 0;
    final long tst = (long) Math.sqrt(x);
    return tst * tst == x;
}

• 第一步，通过一个long类型的goodMask进行初步过滤，该掩码用于检查输入数的最后6位是否符合完全平方数的特征。
• 第二步，使用Long.numberOfTrailingZeros()函数计算输入数末尾连续0的个数，若为奇数则直接返回false，因为完全平方数的质因数分解中，2的指数必须为偶数。
• 第三步，移除末尾的0后，检查剩余数的二进制表示是否以001结尾，以及是否为正数。
• 最后，使用Math.sqrt()函数进行最终判断。

4. 基于模运算和Hensel引理的方法

typedef signed long long int int64;

int start[1024] = {...};
bool bad255[512] = {...};

inline bool square( int64 x ) {
    if( x < 0 || (x&2) || ((x & 7) == 5) || ((x & 11) == 8) )
        return false;
    if( x == 0 )
        return true;

    int64 y = x;
    y = (y & 4294967295LL) + (y >> 32); 
    y = (y & 65535) + (y >> 16);
    y = (y & 255) + ((y >> 8) & 255) + (y >> 16);
    if( bad255[y] )
        return false;

    if((x & 4294967295LL) == 0)
        x >>= 32;
    if((x & 65535) == 0)
        x >>= 16;
    if((x & 255) == 0)
        x >>= 8;
    if((x & 15) == 0)
        x >>= 4;
    if((x & 3) == 0)
        x >>= 2;

    if((x & 7) != 1)
        return false;

    int64 r, t, z;
    r = start[(x >> 3) & 1023];
    do {
        z = x - r * r;
        if( z == 0 )
            return true;
        if( z < 0 )
            return false;
        t = z & (-z);
        r += (z & t) >> 1;
        if( r > (t >> 1) )
            r = t - r;
    } while( t <= (1LL << 33) );
    
    return false;
}

• 首先进行快速过滤，排除负数和一些明显不是完全平方数的情况。
• 然后计算输入数对255取模的结果，并通过bad255数组进行判断。
• 接着使用二进制搜索去除输入数中2的幂次方。
• 最后，使用类似于Hensel引理的方法计算平方根，并进行判断。

核心代码

以下是一个综合多种优化方法的示例代码：

public class SquareRootChecker {
    long goodMask; 
    {
        for (int i=0; i<64; ++i) goodMask |= Long.MIN_VALUE >>> (i*i);
    }

    public boolean isSquare(long x) {
        if (goodMask << x >= 0) return false;
        final int numberOfTrailingZeros = Long.numberOfTrailingZeros(x);
        if ((numberOfTrailingZeros & 1) != 0) return false;
        x >>= numberOfTrailingZeros;
        if ((x&7) != 1 | x <= 0) return x == 0;
        final long tst = (long) Math.sqrt(x);
        return tst * tst == x;
    }
}

最佳实践

• 提前过滤：在进行平方根计算之前，通过位运算、模运算等方法快速排除一些明显不是完全平方数的情况，减少不必要的计算。
• 使用预计算表：如bad255数组和goodMask，可以在常数时间内进行判断，提高效率。
• 结合多种方法：根据输入数据的特点，结合不同的优化方法，以达到最佳的性能。

常见问题

1. Math.sqrt()的精度问题

对于大于2^53的整数，Math.sqrt()返回的结果可能存在精度损失。但在判断完全平方数时，只要将结果转换为整数后进行平方比较，通常可以得到正确的结果。

2. 算法性能受输入数据分布的影响

不同的算法在不同的输入数据分布下可能表现不同。例如，某些算法在处理大量小整数时可能更高效，而另一些算法在处理大整数时可能更有优势。因此，在选择算法时，需要考虑输入数据的特点。

3. 数组边界检查的开销

在Java中，数组访问会进行边界检查，这可能会带来一定的性能开销。因此，在使用数组进行预计算表时，需要注意这一点。可以考虑使用位运算等方式避免数组访问，或者使用long类型的掩码来代替数组。