NP、NP-Complete和NP-Hard的区别

技术背景

在计算机科学中，为了衡量问题的计算复杂度，引入了不同的复杂度类。P、NP、NP - Complete和NP - Hard是其中重要的概念，理解它们之间的区别有助于我们对问题的难易程度有更清晰的认识，在算法设计和分析中起着关键作用。

实现步骤

预备概念

• 决策问题：具有“是”或“否”答案的问题。

各复杂度类定义

1. P（Polynomial Time）
   • 定义：P是一个复杂度类，代表所有能在多项式时间内解决的决策问题的集合。即给定问题的一个实例，能在多项式时间内决定答案是“是”还是“否”。
   • 示例：给定一个连通图G，能否用两种颜色为其顶点着色，使得没有边的两个端点颜色相同。算法为：从任意顶点开始，将其着色为红色，其所有邻接顶点着色为蓝色，依此类推，直到所有顶点都被着色或出现边的两个端点颜色相同的情况。
2. NP（Non - deterministic Polynomial Time）
   • 定义：NP是一个复杂度类，代表所有决策问题的集合，对于这些问题，答案为“是”的实例有可以在多项式时间内验证的证明。也就是说，如果有人给我们问题的一个实例和一个答案为“是”的证书（有时称为见证），我们可以在多项式时间内检查其正确性。
   • 示例：整数分解问题。给定整数n和m，是否存在一个整数f，满足1 < f < m，使得f能整除n。这是一个决策问题，若有人给我们问题的实例（整数n和m）和一个整数f（1 < f < m），并声称f是n的因子，我们可以通过执行除法n / f在多项式时间内检查答案。
3. NP - Complete
   • 定义：NP - Complete是一个复杂度类，代表NP中所有这样的问题X的集合，对于任何其他NP问题Y，都可以在多项式时间内将其归约到X。直观地说，如果我们知道如何快速解决X，那么就可以快速解决Y。
   • 示例：3 - SAT问题。给定一个由3 - 子句析取（OR）组成的合取（AND）式，如(x_v11 OR x_v21 OR x_v31) AND (x_v12 OR x_v22 OR x_v32) AND ... AND (x_v1n OR x_v2n OR x_v3n)，其中每个x_vij是一个布尔变量或其否定。可以证明每个NP问题都可以归约到3 - SAT问题，这就是Cook定理。
4. NP - Hard
   • 定义：直观地说，这些问题至少和NP - Complete问题一样难。注意，NP - Hard问题不一定在NP中，也不一定是决策问题。精确的定义是，如果存在一个NP - Complete问题Y，使得Y可以在多项式时间内归约到问题X，则问题X是NP - Hard。
   • 示例：停机问题。给定一个程序P和输入I，程序是否会停机。这是一个决策问题，但不在NP中，任何NP - Complete问题都可以归约到这个问题。

复杂度类之间的关系

• P是NP的子集，即P ⊆ NP。
• 任何NP问题都可以在多项式时间内归约到NP - Complete问题。
• 任何NP - Complete问题都可以在多项式时间内归约到NP - Hard问题。

核心代码

文章中未涉及具体代码实现，主要是理论上的算法描述。

最佳实践

• 在实际应用中，对于P类问题，可以直接设计多项式时间算法进行求解。
• 对于NP类问题，如果已知其属于P类（如某些NP问题同时也是P问题），则使用多项式时间算法；否则，可以考虑使用近似算法、启发式算法等在可接受的时间内得到近似解。
• 对于NP - Complete和NP - Hard问题，目前没有已知的多项式时间算法。可以尝试使用回溯法、分支限界法等进行求解，但在最坏情况下，这些方法的时间复杂度可能是指数级的。

常见问题

P = NP问题

这是计算机科学中最著名的问题之一，也是数学科学中最重要的未解决问题之一。目前还不清楚NP问题是否有确定性的多项式时间解决方案，大多数人认为P ≠ NP。Clay研究所为解决该问题提供了一百万美元的奖金。

如何判断一个问题属于哪个复杂度类

• 判断一个问题是否属于P类，需要设计一个能在多项式时间内解决该问题的算法。
• 判断一个问题是否属于NP类，需要证明对于答案为“是”的实例，存在可以在多项式时间内验证的证明。
• 判断一个问题是否为NP - Complete，需要证明该问题既在NP中，又能将其他NP问题在多项式时间内归约到它。
• 判断一个问题是否为NP - Hard，通常通过将一个已证明的NP - Hard问题在多项式时间内归约到该问题来证明。